Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，n∈N*．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（2）求证：$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=s_n-s_n-1，可得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，可得b_n+1-b_n=2，
（2）利用裂项求和，
（3）利用错位相减求和．

解答 解：（1）∵a_n是S_n与2的等差中项，∴S_n=2a_n-2，
∴S_n-1=2a_n-1-2，∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
又a₁=2，∴a_n≠0，$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$（n≥2，n∈N*），
即数列{a_n}是等比数列，${a_n}={2^n}$，
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，b_n+1-b_n=2，
即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1．
（2）∵$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}++\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$．
（3）∵${c_n}=（2n-1）{2^n}$，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴$2{T_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+…+（2n-3）{2^n}+（2n-1）{2^{\;}}$，
因此，$-{T_n}=1×2+（2×{2^2}+2×{2^3}+…+2×{2^n}）-（2n-1）{2^{n+1}}$，
即$-{T_n}=1×2+（{2^3}+{2^4}+…+{2^{n+1}}）-（2n-1）{2^{n+1}}$，
∴${T_n}=（2n-3）{2^{n+1}}+6$．

点评 本题考查了数列的递推式的应用，及常见的非等差、等比数列求和，属于基础题．