【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是B1C1、BC的中点,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1E= .
(Ⅰ)证明:A1D⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明:∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是B1C1、BC的中点,∠BAC=90°,AB=AC=2, ∴A1D∥AE,AE⊥BC,AE=BE= ,
∵A1A=4,A1E= .
∴A1E2+AE2= ,∴AE⊥A1E,
∵A1E∩BC=E,∴AE⊥平面A1BC,
∵A1D∥AE,∴A1D⊥平面A1BC.
(Ⅱ)解:如图,以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系.
易知A1(0,0, ),B( ,0,0),C(﹣ ,0,0),
A(0, ,0),D(0,﹣ , ),B1( ,﹣ , ),
设平面A1BD的法向量为 =(x,y,z),
由 ,可取 .
设平面B1BD的法向量为 =(x,y,z),
由 ,可取 .
cos< >=
又∵该二面角为钝角,
∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣ .
【解析】(1)先证AE⊥平面A1BC,再证A1D∥AE即可‘’(2)所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
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【题目】下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ).
A. 某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人
B. 由三角形的性质,推测空间四面体的性质
C. 平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分
D. 在数列{an}中,a1=1,,,,由此归纳出{an}的通项公式
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【题目】如果函数的定义域为,且存在实常数,使得对于定义域内任意,都有成立,则称此函数具有“性质”.
(1)判断函数是否具有“性质”,若具有“性质”,求出所有的值的集合,若不具有“性质”,请说明理由;
(2)已知函数具有“性质”,且当时,,求函数在区间上的值域;
(3)已知函数既具有“性质”,又具有“性质”,且当时,,若函数的图像与直线有2017个公共点,求实数的值.
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【题目】如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).
(1)证明动点D在定直线上;
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.
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【题目】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,CC1的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
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【题目】为了增强环保意识,某社团从男生中随机抽取了60人,从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示:
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
男生 | 40 | 20 | 60 |
女生 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
(1)试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关;
(2)为参加市举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛,已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为,若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数,求的分布列与数学期望.
附:=
0.500 | 0.400 | 0.100 | 0.010 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知函数,若在定义域内存在,使得成立,则称为函数的局部对称点.
(1)若,证明:函数必有局部对称点;
(2)若函数在区间内有局部对称点,求实数的取值范围;
(3)若函数在上有局部对称点,求实数的取值范围.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(1+cosC)=c(2﹣cosB).
(Ⅰ)求证:a,c,b成等差数列;
(Ⅱ)若C= ,△ABC的面积为4 ,求c.
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【题目】如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6.
(1)求证:BD⊥平面PAC; (2)求二面角P-BD-A的大小.
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