Question

【题目】已知二次函数f（x）=x2﹣2x+3 （Ⅰ）若函数 的最小值为3，求实数m的值；
（Ⅱ）若对任意互不相同的x1 ， x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解（Ⅰ）令t=log3x+m，∵ ，∴t∈[m﹣1，m+1]，

从而y=f（t）=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，t∈[m﹣1，m+1]

当m+1≤1，即m≤0时， ，

解得m=﹣1或m=1（舍去），

当m﹣1＜1＜m+1，即0＜m＜2时，ymin=f（1）=2，不合题意，

当m﹣1≥1，即m≥2时， ，

解得m=3或m=1（舍去），

综上得，m=﹣1或m=3，

（Ⅱ）不妨设x1＜x2，易知f（x）在（2，4）上是增函数，故f（x1）＜f（x2），

故|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|可化为f（x2）﹣f（x1）＜kx2﹣kx1，

即f（x2）﹣kx2＜f（x1）﹣kx1（*），

令g（x）=f（x）﹣kx，x∈（2，4），即g（x）=x2﹣（2+k）x+3，x∈（2，4），

则（*）式可化为g（x2）＜g（x1），即g（x）在（2，4）上是减函数，

故 ，得k≥6，

故k的取值范围为[6，+∞）

【解析】（Ⅰ）令t=log3x，（﹣1≤t≤1），则y=（t+m﹣1）2+2，由题意可得最小值只能在端点处取得，分别求得m的值，加以检验即可得到所求值；（Ⅱ）判断f（x）在（2，4）递增，设x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），原不等式即为f（x1）﹣f（x2）＜k（x1﹣x2），即有f（x1）﹣kx1＜f（x2）﹣kx2，由题意可得g（x）=f（x）﹣kx在（2，4）递减．由g（x）=x2﹣（2+k）x+3，求得对称轴，由二次函数的单调区间，即可得到所求范围
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．