Question

已知函数f（x）=-2cos²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=-2cos²x+1=sin2x-cos2x=2sin（2x-），…..（4分）
∴f（）=2sin（2×-）=2×=1．（6分）
（Ⅱ）函数f（x）=2sin（2x-） 的最小正周期 T==π，…（8分）
又由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，
故函数的单调递增区间为[kπ-≤x≤kπ+]，k∈z．…（13分）
分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x-），由此求得 f（）的值．
（Ⅱ）根据函数f（x）的解析式求得它的周期，由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得x的范围，即可求得函数的单调递增区间．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的周期性和求法，求复合三角函数的单调区间，属于中档题．