Question

已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且Sn=

1

2

anan+1(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：对任意n∈N*，

1

2

≤

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+

1

a5

-

1

a6

+…+

1

a2n-1

-

1

a2n

＜

2

2

．

Answer 1

分析：（I）由2S_n=a_na_n+1，2S_n+1=a_n+1a_n+3，知2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），a_n+2-a_n=2，由此能求出a_n=n（n∈N⁺）．
（II）令bn=

1

a2n-1

-

1

a2n

=

1

a2n-1a2n

＞0，Tn=

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+…+

1

a2n-1

-

1

a2n

=b1+b2+…+bn≥b1=

1

2

．由（2n-1）•2n=（2n）²-2n＞(2n)2-n-

3

4

=(2n-

3

2

) (2n+

1

2

)，知bn＜

1

(2n- 3 2 ) (2n+ 1 2 )

=

1

4n-3

-

1

4n+1

，由此能够证明对任意n∈N*，

1

2

≤

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+

1

a5

-

1

a6

+…+

1

a2n-1

-

1

a2n

＜

2

2

．

解答：解：（I）由题设知2S_n=a_na_n+1，2S_n+1=a_n+1a_n+3，
∴2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∵a_n≠0，∴a_n+2-a_n=2，
∵a₁=1，a₂=2，
∴a_n=n（n∈N⁺）．
（II）令bn=

1

a2n-1

-

1

a2n

=

1

a2n-1a2n

＞0，
Tn=

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+…+

1

a2n-1

-

1

a2n

=b1+b2+…+bn≥b1=

1

2

．
∵（2n-1）•2n=（2n）²-2n＞(2n)2-n-

3

4

=(2n-

3

2

) (2n+

1

2

)，
∴bn＜

1

(2n- 3 2 ) (2n+ 1 2 )

=

1

4n-3

-

1

4n+1

，
T1=

1

2

＜

2

2

，T2=

7

12

＜

2

2

，T3=

37

60

＜

2

2

，
n≥4时，T_n=T₃+b₄+b₅+…+b_n
＜

37

60

+(

1

13

-

1

17

)  +(

1

17

-

1

21

)  +…+(

1

4n-3

-

1

4n+1

)
=

541

780

-

1

4n+1

＜

546

780

=0.7＜

2

2

，
∴对任意n∈N*，

1

2

≤

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+

1

a5

-

1

a6

+…+

1

a2n-1

-

1

a2n

＜

2

2

．

点评：第（I）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意迭代法的合理运用；第（II）题考查数列与一不等式的综合运用，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用．