Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一个零点，求f（2）的取值范围；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x²+lnx，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=-x³+ax²+bx+c，知f'（x）=-3x²+2ax+b，由f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，能求出b的值．
（2）由f（x）=-x³+ax²+c，知f（1）=0，c=1-a，由f′（x）=-3x²+2ax=0的两个根分别为x₁=0，x2=

2a

3

，能求出f（2）的取值范围．
（3）g（x）=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g （x）的切线的切点坐标为（x₀，y₀），推导出lnx0+

2

x0

-2=0，构造函数h（x）=lnx+

2

x

-2，能推导出过点（2，5）可作2条切线．

解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=-3x²+2ax+b，
∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f（0）=0．
∴b=0．
（2）由（1）知f（x）=-x³+ax²+c，
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，
∴c=1-a，
∵f′（x）=-3x²+2ax=0的两个根分别为x₁=0，x2=

2a

3

，
f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴x2=

2a

3

＞1，解得a＞

3

2

，
∴f（2）=-8+4a+（1-a）=3a-7＞-

5

2

，
∴f（2）的取值范围是（-

5

2

，+∞）．
（3）g（x）=2x+lnx
设过点（2，5）与曲线g （x）的切线的切点坐标为（x₀，y₀），
∴y₀-5=g′（x₀）（x₀-2），
即2x0+lnx0-5=(2+

1

x0

)(x0-2)，
∴lnx0+

2

x0

-2=0，…（10分）
令h（x）=lnx+

2

x

-2，
∴h′（x）=

1

x

-

2

x2

=0
∴x=2，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
又∵h（

1

2

）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=

2

e2

＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点
∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．…（13分）

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查函数值的取值范围的求法，考查函数的切线方程的条数的判断．综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高．解题时要认真审题，注意导数性质、分类讨论思想、等价转化思想的合理运用．