Question

在△ABC中，三角A、B、C所对三边a、b、c，其中a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，且2cos （A+B）=-1．
（1）求c；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，利用根与系数的关系得到a+b=2

3

且ab=2．由2cos （A+B）=-1结合三角形内角和，得到C=

π

3

，再利用余弦定理，可得c²=（a+b）²-3ab=6，即可得到边c的长度；
（2）由（1）知ab=2且C=

π

3

，利用正弦定理关于三角形面积的公式，即可算出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，
∴a+b=2

3

且ab=2
∵2cos （A+B）=-1，A+B+C=π
∴-cosC=-

1

2

，得cosC=

1

2

，C=

π

3

由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos

π

3

=（a+b）²-3ab=（2

3

）²-3×2=6
∴c=

6

；
（2）由（1）知ab=2且C=

π

3

∴由正弦定理，得S=

1

2

absinC=

1

2

×2×sin

π

3

=

3

2

即△ABC的面积为

3

2

．

点评：本题给出△ABC中，a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根且C=

π

3

，求边c的长度并求△ABC的面积，着重考查了韦达定理、利用正余弦定理解三角形等知识，属于基础题．