Question

4．已知△ABC为锐角三角形，且三个内角为A，B，C，$\overrightarrow{p}$=（cosA+sinA，2+2sinA），$\overrightarrow{q}$=（cosA-sinA，1-sinA），且$\overrightarrow{p}$⊥$\overrightarrow{q}$
（1）求A；
（2）设AC=2，sin²A+cos²B+sin²C-sinAsinC=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，可得$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=0．再整理可得：cos²A=$\frac{1}{4}$，由cosA＞0，解得：cosA=$\frac{1}{2}$，即可解得A的值．
（2）由正弦定理可得：a²+c²-ac=b²，由余弦定理可得cosB，解得B=C=$\frac{π}{3}$，结合AC=2，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{p}$⊥$\overrightarrow{q}$，
∴$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=0，
∴（cosA+sinA）（cosA-sinA）+（2+2sinA）（1-sinA）=0，整理可得：cos²A=$\frac{1}{4}$，
∵△ABC为锐角三角形，cosA＞0，解得：cosA=$\frac{1}{2}$，可得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵sin²A+cos²B+sin²C-sinAsinC=1，
∴sin²A+sin²C-sinAsinC=1-cos²B=sin²B，由正弦定理可得：a²+c²-ac=b²，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，故解得B=C=$\frac{π}{3}$，
∴AC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ACsin$\frac{π}{3}$×BC=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，属于基本知识的考查．