Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；．
（Ⅱ）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证BC⊥平面ACFE，可根据面面垂直的性质定理进行证明，而AC⊥BC，平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，满足面面垂直的性质定理；
（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连接DG，GH，DH，根据二面角的平面角的定义可知∠DGH是二面角B-EF-D的平面角，在△DGH中，利用余弦定理即可求出二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

解答：解（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°
∴四边形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°∴AC⊥BC（3分）
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，
∴BC⊥平面ACFE（5分）
（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连接DG，GH，DH∵DE=DF，
∴DG⊥EF∵BC⊥平面ACFE∴BC⊥EF
又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，
又∵GH∥FB，
∴EF⊥GH
∴BE²=DE²+DB²∴∠DGH是二面角B-EF-D的平面角．（8分）
在△BDE中，DE=

2

a，DB=

3

a，BE=

AE2+AB2

=

5

a∴∠EDB=90°，
∴DH=

5

2

a．（9分）
又DG=

5

2

a，GH=

2

2

a．（10分）
即二面角B-EF-D的平面角的余弦值为

10

10

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．