Question

已知二次函数y=x²-4x+5，分别求下列条件下函数的值域：
（1）x∈[-1，0]；
（2）x∈（1，3）；
（3）x∈（4，5]．

Answer 1

分析：先对解析式配方后求出对称轴并画出图象，
（1）由图判断出函数在[-1，0]上递减，再求出最大值和最小值，写出函数的值域即可；
（2）由图判断出函数在（1，3）上单调性，再求出最大值和最小值，写出函数的值域即可；
（3）由图判断出函数在（4，5]上递减，再求出最大值和最小值，写出函数的值域即可．

解答：解：由题意得，y=x²-4x+5=（x-2）²+1，关于x=2对称，如图：

（1）由图得，函数在[-1，0]上递减，
则当x=0时，y=5．当x=-1时，y=10．
即当x∈[-1，0]时，y∈[5，10]．
（2）由图得，函数在（1，2]上递减，（2，3）上递增，
则x∈（1，3）时，x=2时，y最小值为1．
当x=1或x=3时，y=2．
又∵x∈（1，3），∴点（1，2），（3，2）为虚点．
∴当x∈（1，3）时，y∈[1，2）．
（3）由图得，函数在（4，5]上递增，
当x∈（4，5]时，x=4时，对应值y=5，（4，5）为虚点．
当x=5时，y=10，（5，10）为实点．
∴当x∈（4，5]时，y∈（5，10]．

点评：本题考查了二次函数的单调性以及最值的应用，利用配方法化简解析式再画出图象，注意区间的开或闭．