Question

已知f（x）=e^x-ax-1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求证：e^x＞x+1（x≠0）．

Answer 1

分析：（1）求导函数，令f'（x）≥0得e^x≥a，分类讨论：当a≤0时，f'（x）＞0在R上恒成立，当a＞0时，得x≥lna，由此可得f（x）的单调增区间；
（2）构造函数g（x）=e^x-x-1，求导函数，求得g（x）的单调性与最值，即可证得结论．

解答：（1）解：∵f（x）=e^x-ax-1，∴f'（x）=e^x-a…（1分）
令f'（x）≥0得e^x≥a，当a≤0时，f'（x）＞0在R上恒成立，当a＞0时，得x≥lna，…（3分）
综上所述：当a≤0时f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）；当a＞0时f（x）的单调增区间是（lna，+∞）…（6分）
（2）证明：设g（x）=e^x-x-1，则由g'（x）=e^x-1＞0解得x＞0，…（7分）
∴g（x）在（0，+∞）上递增，在（-∞，0）上递减；…（9分）
∴总有g（x）＞g（0）=0…（11分）
即e^x-x-1＞0，∴e^x＞x+1（x≠0）…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查构造函数证明不等式，正确运用导数是关键．