分析 (1)用向量$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{MN}$,则$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$,$\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$;
(2)四面体OABC的所有棱长都等于1时,|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1,$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$.将(1)中的结论进行数量积运算即可.
解答 解:(1)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$,
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+($\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$)+$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$)=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$,
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$.
$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MQ}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$.
(2)$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=($\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$)•($\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$)
=$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{OA}$2+$\frac{1}{36}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{36}$$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{OB}$2+$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{OC}$2
=$\frac{1}{18}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{18}$+$\frac{1}{18}$+$\frac{1}{36}$+$\frac{1}{18}$+$\frac{1}{36}$+$\frac{1}{18}$=$\frac{13}{36}$
点评 本题考查了向量的加减法的几何意义及数量积运算,向量$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{MN}$是解题关键,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $({-∞,\frac{1}{2}})$ | B. | (-∞,1) | C. | (-∞,2) | D. | (-∞,3) |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $f(x)=\frac{{{x^2}-1}}{x-1},g(t)=t+1$ | B. | $f(x)=lg\sqrt{x}+lg\sqrt{1-x},g(x)=lg\sqrt{x(1-x)}$ | ||
C. | $f(x)=\root{3}{x^3},g(x)=x+1$ | D. | $f(x)={(\sqrt{x})^2},g(x)=x$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ∅ | B. | {2,$\frac{3\sqrt{2}}{2}$} | C. | {2} | D. | [2,$\frac{2016\sqrt{2015}}{2015}$] |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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