Question

甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩的分布列如下：

射手甲				射手乙
环数	8	9	10	环数	8	9	10
概率	1 3	1 3	1 3	概率	1 2	1 2	1 6

（1）若甲射手共有5发子弹，一旦命中10环就停止射击，求他剩余3颗子弹的概率；
（2）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率；
（3）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

（1）记事件A：射手甲剩下3颗子弹，∴P（A）=

2

3

×

1

3

=

2

9

                （4分）
（2）记事件C：甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件D：甲命中2次10环，乙命中1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环为事件C+D，
∴P（C+D）=

C

12

×

2

3

×

1

3

×

C

22

×(

1

6

)2+

C

22

×(

1

3

)2×

5

6

×

1

6

=

7

162

 （8分）
（3）ξ的取值分别为16，17，18，19，20，（9分）
P（ξ=16）=

1

3

×

1

3

=

1

9

，P（ξ=17）=

1

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

5

18

，
P（ξ=18）=

1

3

×

1

6

+

1

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

6

18

，
P（ξ=19）=

1

3

×

1

6

+

1

3

×

1

2

=

4

18

，P（ξ=20）=

1

3

×

1

6

=

1

18

∴ξ的分布列为

ξ	16	17	18	19	20
P	1 9	5 18	6 18	4 18	1 18

Eξ=16×

1

9

+17×

5

18

+18×

6

18

+19×

4

18

+20×

1

18

=

107

6

（12分）