Question

14．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），若对任意实数x，不等式2x≤f（x）$≤\frac{1}{2}$（x+1）²恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+2a|x-1|，x∈[-2，2]的最小值为-1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）在给出的不等式中，令x=1，根据这个条件可求出f（1）的值；
（2）联立f（1）=2，即可求出a+c与b的关系式．由f（x）-2x≥0恒成立，即：ax²+（b-1）x+c≥0对于一切实数x恒成立，只有当a＞0，且△=（b-2）²-4ac≤0时，求得a=c＞0，再由f（x）$≤\frac{1}{2}$（x+1）²恒成立，可得二次项系数小于0，判别式小于等于0，解不等式即可得到a的范围；
（3）讨论当1≤x≤2时，当-2≤x＜1时，去掉绝对值，运用二次函数的对称轴和区间的关系，求得最小值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）令x=1，由2x≤f（x）$≤\frac{1}{2}$（x+1）²可得，
2≤f（1）≤2，∴f（1）=2；
（2）由f（1）=2可得a+b+c=2，即为b=2-（a+c），
∵对于一切实数x，f（x）-2x≥0恒成立，
∴ax²+（b-2）x+c≥0（a≠0）对于一切实数x恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=（b-2）^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（a+c）^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$．
可得（a-c）²≤0，但（a-c）²≥0，即有a=c＞0，
则f（x）=ax²+bx+a，
f（x）$≤\frac{1}{2}$（x+1）²恒成立，即为（a-$\frac{1}{2}$）x²+（b-1）x+（a-$\frac{1}{2}$）≤0，
可得a-$\frac{1}{2}$＜0，且△=（b-1）²-4（a-$\frac{1}{2}$）²≤0，
由b-1=1-2a，即有△=0成立；
综上可得a的范围是（0，$\frac{1}{2}$）；
（3）函数g（x）=f（x）+2a|x-1|=ax²+（2-2a）x+a+2a|x-1|（0＜a＜$\frac{1}{2}$），
当1≤x≤2时，g（x）=ax²+2x-a在[1，2]递增，可得x=1时，取得最小值2；
当-2≤x＜1时，g（x）=ax²+（2-4a）x+3a，对称轴为x=$\frac{2a-1}{a}$，
当$\frac{2a-1}{a}$≤-2，即为0＜a≤$\frac{1}{4}$时，[-2，1）递增，
可得x=-2取得最小值，且为4a-4+8a+3a=-1，解得a=$\frac{1}{5}$；
当$\frac{2a-1}{a}$＞-2，即$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，
x=$\frac{2a-1}{a}$，取得最小值，且为$\frac{12{a}^{2}-（2-4a）^{2}}{4a}$=-1，
解得a=$\frac{5±\sqrt{21}}{2}$∉（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
综上可得，a=$\frac{1}{5}$．

点评 此题考查的是二次函数解析式问题，题中还涉及了二次函数的性质、二次函数与不等式的联系，以及不等式恒成立问题的解法；抓住不等式恒成立的条件，考查二次函数最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．