Question

下列命题正确的是

（1）（3）

（只须填写命题的序号即可）
（1）函数y=

π

2

-arccosx是奇函数；
（2）在△ABC中，A+B＜

π

2

是sinA＜cosB的充要条件；
（3）当α∈（0，π）时，cosα+sinα=m（0＜m＜1），则α一定是钝角，且|tanα|＞1；
（4）要得到函数y=cos（

x

2

-

π

4

）的图象，只需将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

2

个单位．

Answer 1

分析：对于（1）设f（x）=

π

2

-arccosx，利用奇偶函数的定义结合反三角函数的性质即可判断函数y=

π

2

-arccosx是奇函数；（2）在△ABC中，A+B＜

π

2

⇒A＜

π

2

-B⇒sinA＜sin（

π

2

-B）⇒sinA＜cosB，反之不成立；（3）当α∈（0，π）时，cosα+sinα=m平方得到cosα＜0，则α一定是钝角；（4）将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

2

个单位得到函数y=cos[

1

2

（x+

π

2

）-

π

4

]即得到函数y=cos（

x

2

+

π

4

）的图象，故错．

解答：解：对于（1）设f（x）=

π

2

-arccosx，则f（-x）=

π

2

-arccos(-x)=

π

2

-(π-arccosx)=-f（x），故函数y=

π

2

-arccosx是奇函数；正确．
（2）在△ABC中，A+B＜

π

2

⇒A＜

π

2

-B⇒sinA＜sin（

π

2

-B）⇒sinA＜cosB，反之不成立；故（2）错．
（3）当α∈（0，π）时，cosα+sinα=m平方得：
cos²α+sin²α+2cosαsinα=m²，⇒2cosαsinα=m²-1＜0，⇒cosα＜0，
则α一定是钝角，且|tanα|＞1；故（3）正确；
（4）将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

2

个单位得到函数y=cos[

1

2

（x+

π

2

）-

π

4

]即得到函数y=cos（

x

2

+

π

4

）的图象，得不到函数y=cos（

x

2

-

π

4

）的图象，故错．
故答案为：（1），（3）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、必要条件、充分条件与充要条件的判断等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．