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【题目】已知函数.

(1)是否存在及过原点的直线,使得直线与曲线均相切?若存在,求的值及直线的方程;若不存在,请说明理由;

(2)若函数在区间上是单调函数,求的取值范围.

【答案】(1)存在,使得直线与曲线均相切;(2)的取值范围是.

【解析】

试题分析:对问题(1),根据导数的几何意义以及过原点的直线是曲线的公切线,从而可求出直线的方程以及的值;对于问题(2),通过对函数进行求导并结合对实数的分类讨论即可求出的取值范围.

试题解析:(1),设曲线在点处切线过原点,则切线方程为

在切线上,切线方程为,设直线与曲线切于点.

,解得

.故存在,使得直线与曲线均相切.

(2)

,则,易知上单调递减,从而.

时,即时,在区间上单调递增,上恒成立,即上恒成立.

在区间上单调递减,满足题意.

时,即时,,当时,,故函数存在唯一零点,且上单调递增,在上单调递减,又上单调递增.

注意到上单调递减,这与在区间上是单调函数矛盾,不合题意.

综合①②得,的取值范围是.

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