Question

13．设数列{a_n}满足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}a{\;}_n=\frac{n}{3}$，n∈N^*．
（1）a₁，a₂；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=$\frac{1}{{{{log}_3}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意得a₁=$\frac{1}{3}$，a₁+3a₂=$\frac{2}{3}$；从而求a₁，a₂；
（2）当n≥2时，由${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}a{\;}_n=\frac{n}{3}$可得3^n-1a_n=$\frac{1}{3}$；从而解得；
（3）化简b_n=$\frac{1}{{{{log}_3}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（-n）（-（n+1））}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，从而由{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）由题意得，
a₁=$\frac{1}{3}$，a₁+3a₂=$\frac{2}{3}$；
解得，${a_1}=\frac{1}{3}，{a_2}=\frac{1}{9}$；
（2）当n≥2时，
${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}a{\;}_n=\frac{n}{3}$，①
a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=$\frac{n-1}{3}$，②
①-②得，
3^n-1a_n=$\frac{1}{3}$；
解得：${a_n}={（\frac{1}{3}）^n}$；
a₁=$\frac{1}{3}$也成立；
故${a_n}={（\frac{1}{3}）^n}$．
（3）∵b_n=$\frac{1}{{{{log}_3}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（-n）（-（n+1））}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的求法及裂项求和法的应用，属于基础题．