精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
精英家教网如图所示,F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点(1,
3
2
)
到F1、F2两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F1PQ的面积.
分析:(Ⅰ)由题设知:2a=4,即a=2,将点(1,
3
2
)
代入椭圆方程得 
1
22
+
(
3
2
)
2
b2
=1
,解得b2=3,由此能得到椭圆方程.
(Ⅱ)由A(-2,0), B(0,
3
)
,知kPQ=kAB=
3
2
,所以PQ所在直线方程为y=
3
2
(x-1)
,由
y=
3
2
(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
得 8y2+4
3
y-9=0
,设P (x1,y1),Q (x2,y2),由韦达定理能导出|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
3
4
+4×
9
8
=
21
2
,由此能求出△F1PQ的面积.
解答:解:(Ⅰ)由题设知:2a=4,即a=2
将点(1,
3
2
)
代入椭圆方程得 
1
22
+
(
3
2
)
2
b2
=1
,解得b2=3
∴c2=a2-b2=4-3=1,故椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1
--------------(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(-2,0), B(0,
3
)
,∴kPQ=kAB=
3
2

∴PQ所在直线方程为y=
3
2
(x-1)
---------------(5分)
y=
3
2
(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
得 8y2+4
3
y-9=0
---------------------------------(7分)
设P (x1,y1),Q (x2,y2),则y1+y2=-
3
2
, y1y2=-
9
8
--------(8分)
|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
3
4
+4×
9
8
=
21
2
--------------------------(9分)
SF1PQ=
1
2
|F1F2|•|y1-y2|=
1
2
×2×
21
2
=
21
2
.-------------------------(10分)
点评:本题考查椭圆C的方程和求△F1PQ的面积.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,A,B为两个顶点,已知椭圆C上的点到F1,F2两点的距离之和为4且b=
3

(1)求椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P,Q两点,求△F1PQ的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点(1,
3
2
)到F1、F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设点M是椭圆上的动点N(0,
1
2
),求|MN|的最大值.
(3)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F1PQ的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的左、右两个焦点,A、B为两个顶点;已知顶点B(0,
3
)
到F1、F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明:椭圆C上任意一点M(x0,y0)到右焦点F2的距离的最小值为1.
(3)作AB的平行线交椭圆C于P、Q两点,求弦长|PQ|的最大值,并求|PQ|取最大值时△F1PQ的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•牡丹江一模)如图所示,F1和F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则离心率为(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案