Question

定义：在直角坐标系中，若不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），则三角形ABC的面积可以表示为S_△ABC=．已知抛物线y²=4x，过抛物线焦点F斜率为的直线l与抛物线交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P（3，0），试用行列式计算三角形面积的方法求四边形APBO的面积S．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出抛物线的焦点的坐标，用点斜式求得直线AB的方程，代入抛物线y²=4x的方程化简，
利用一元二次方程根与系数的关系，求出 x₁，x₂，y₁，y₂的值，即可求得A、B两点的坐标；
（2）由题意知，A（4，4），，P（3，0），O（0，0）
则四边形APBO的面积S=+=．
解答：解：（1）抛物线y²=4x中，p=2，，故抛物线的焦点的坐标为（1，0），
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），
由题意有可得 直线AB的方程为  y-0=（x-1），即 y=（x-1），
代入抛物线y²=4x的方程化简可得  y²-3x-4=0，
∴y₁=-1，y₂=4，则x₁=，x₂=4
故A（4，4）、；
（2）由于不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），
则三角形ABC的面积可以表示为S_△ABC=
又由A（4，4）、，
则四边形APBO的面积S=S_△AOB+S_△APB
=+=．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，求出x₁，x₂，y₁，y₂的值，是解题的关键．