给定有限个正数满足条件T:每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组.每组数之和不大于150且分组的步骤是:首先.从这些数中选择这样一些数构成第一组.使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的.r1称为第一组余差,然后.在去掉已选入第一组的数后.对余下的数按第一组的选择方式构成第二组.这时的余差为r2,如此继� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r₁与所有可能的其他选择相比是最小的，r₁称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r₂；如此继续构成第三组（余差为r₃）、第四组（余差为r₄）、…，直至第N组（余差为r_N）把这些数全部分完为止．
（I）判断r₁，r₂，…，r_N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
（II）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与r_n的大小关系，并证明

（III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．

【答案】分析：（I）由r₁≤r₂≤≤r_N，知除第N组外的每组至少含有

个数．
（II）当第n组形成后，因为n＜N，所以L-[（150-r₁）+（150-r₂）++（150-r_n）]＞r_n，由此可得r₁+r₂+…+r_n-1＞150n-L
，从而能够证明

．
（III）假设N＞11，即第11组形成后，还有数没分完，余下的每个数

，因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5×3=112.5，r₁₁＜37.5，与r₁₁＞37.5矛盾，所以N≤11．
解答：解：（I）r₁≤r₂≤≤r_N．除第N组外的每组至少含有

个数
（II）当第n组形成后，因为n＜N，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差r_n，余下数之和也大于第n组的余差r_n，即L-[（150-r₁）+（150-r₂）++（150-r_n）]＞r_n
由此可得r₁+r₂++r_n-1＞150n-L
因为（n-1）r_n-1≥r₁+r₂++r_n-1，所以

（III）用反证法证明结论，假设N＞11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r₁₁，且r₁₁≥r₁₀
故余下的每个数

（*）
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5×3=112.5
此时第11组的余差r₁₁=150-第11组数之和＜150-112.5=37.5
这与（*）式中r₁₁＞37.5矛盾，所以N≤11．
点评：本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．

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科目：高中数学 来源： 题型：

给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r₁与所有可能的其他选择相比是最小的，r₁称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r₂；如此继续构成第三组（余差为r₃）、第四组（余差为r₄）、…，直至第N组（余差为r_N）把这些数全部分完为止．
（Ⅰ）判断r₁，r₂，…，r_N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
（Ⅱ）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与r_n的大小关系，并证明r_n-1＞

150n-L

n-1

；
（Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．

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科目：高中数学 来源： 题型：

给定有限个正数满足条件T:每个数都不大于50且总和L=1 275.现将这些数按下列要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是:?

首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差r₁与所有可能的其他选择相比是最小的,r₁称为第一组余差；?

然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差为r₂；如此继续构成第三组(余差为r₃)、第四组(余差为r₄)、…,直至第N组(余差为r_n)把这些数全部分完为止.?

(1)判断r₁,r₂,…,r_n的大小关系,并指出除第N组外的每组至少含有几个数；?

(2)当构成第n(n＜N)组后,指出余下的每个数与r_n的大小关系,并证明