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如图,在一个奥运场馆建设现场,现准备把一个半径为m的球形工件吊起平放到6m高的平台上,工地上有一个吊臂长DF=12m的吊车,吊车底座FG高1.5m.当物件与吊臂接触后,钢索CD长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度,并判断能否将该球形工件吊到平台上?

【答案】分析:吊车能把球形工件吊上的高度y取决于吊臂的张角设此角为θ,由图可知y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5,进而可得y关于θ的关系式y=12sinθ,进而求得导函数所以,令y/=0,可得根据同角三角函数的关系,转化成关于tanθ的关系式,求得tanθ的值,进而求得θ.故可推断当0°<θ<60°时,y>0,判定y单调递增,当60°<θ<90°时,y<0,y单调递减,进而可知θ=60°时,y取最大值,求得此时y≈6.6,进而可断定吊车能把圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上.
解答:解:由图可知,y=AB+1.5=AD-OD-
所以
由y/=0,得


当0°<θ<60°时,
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同理,当60°<θ<90°时,y'<0,
所以当0°<θ<60°时,y单调递增,当60°<θ<90°时,y单调递减,
所以θ=60°时,y取最大值.
所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上.
点评:本题主要考查解三角形的实际应用.当涉及最值问题时,可借助函数的单调性来解决.
练习册系列答案
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