Question

已知点O在△ABC内部，且有

AB

=

4OB

+

5OC

，则△OAB与△OBC的面积之比为

 

．

Answer 1

分析：根据题意中向量等式，整理得到

BO

=

1

3

OA

+

5

3

OC

．延长BO到D，使OD=BO，过D分别作OA、OC的平行线，得到平行四边形OEDF，从而

OD

=

BO

=

OE

+

OF

．利用平面向量基本定理，得到

OE

=

1

3

OA

且

OF

=

5

3

OC

，由平行四边形的性质得E、F两点到直线BO的距离相等，从而算出点A到直线BO的距离等于C到直线BO的距离的5倍．由此即可算出△OAB与△OBC的面积之比．

解答：解：∵

AB

=

OB

-

OA

，且

AB

=

4OB

+

5OC

，
∴

OB

-

OA

=

4OB

+

5OC

，
整理得

OB

=-

1

3

OA

-

5

3

OC

，即

BO

=

1

3

OA

+

5

3

OC

，
延长BO到D，使OD=BO，过D作OC的平行线交OA于E，
作OA的平行线交直线OC于F，则四边形OEDF为平行四边形，
可得

OD

=

OE

+

OF

，
∵

OD

=

BO

，∴

OD

=

1

3

OA

+

5

3

OC

，
∵

OE

、

OA

是共线的向量，

OF

、

OC

也是共线的向量，
∴由平面向量基本定理，得

OE

=

1

3

OA

，

OF

=

5

3

OC

，
∴E到直线BO的距离等于A到直线BO的距离的

1

3

，点F到直线BO的距离等于C到直线BO距离的

5

3

，
∵平行四边形0EDF中，E、F两点到直线BO的距离相等，
∴点A到直线BO的距离等于C到直线BO的距离的5倍，
∵△OAB与△OBC有公共的边BO，
∴以BO为底，△OAB与△OBC的高之比等于它们的面积之比，
由此可得：S_△OAB=5S_△OBC，从而△OAB与△OBC的面积之比为5：1．
故答案为：5：1

点评：本题给出△ABC中的点O满足的向量式，求△OAB与△OBC的面积之比．着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算、三角形的面积公式和平行四边形的性质等知识，属于中档题．