Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4．
（Ⅰ）求异面直线DE与BC的距离；
（Ⅱ）求二面角B-EC-D的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直，证明BD⊥DE，利用勾股定理证明DB⊥BC，从而DB是异面直线DE与BC的公垂线段；
（Ⅱ）设CD的中点为M，连接BM，过M作MN⊥EC于N，连接BN，可得∠BMN为二面角B-EC-D的平面角，在直角△BMN中，可求二面角B-EC-D的正切值．

解答：解：（Ⅰ）∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，平面ADEF∩平面ABCD=AD
∴CD⊥DE
∵DE⊥AD，CD∩AD=D
∴DE⊥平面ABCD
∴BD?平面ABCD
∴BD⊥DE
∵AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，∴DB=BC=2

2

∵CD=4，∴DB²+BC²=DC²
∴DB⊥BC
∴DB是异面直线DE与BC的公垂线段，距离为2

2

；
（Ⅱ）设CD的中点为M，连接BM，则BM⊥CD

由（Ⅰ）可得DE⊥BM
∵DE∩CD=D
∴BM⊥平面BCD
过M作MN⊥EC于N，连接BN，则BN⊥EC
∵∠BMN为二面角B-EC-D的平面角
∵MN=

2 5

5

∴在直角△BMN中，tan∠BMN=

BM

MN

=

5

．

点评：本题考查异面直线间的距离，考查面面角，正确找出异面直线DE与BC的公垂线段，作出面面角是解题的关键．