Question

（1）已知实数x，y满足

2x+1

+

2y+3

=4，则x+y的最小值为多少．
（2）在极坐标系中（ρ，θ）（0＜θ≤2π），曲线ρ（cosθ+sinθ）=2与ρ（sinθ-cosθ）=2的交点的极坐标为．

Answer 1

分析：（1）令

2x+1

=m≥0，

2y+3

=n≥0，则有 m+n=4，表示一条线段AB，要使x+y，只要m²+n²最小．而m²+n²的最小值等于原点到线段AB的距离的平方，由此求得m²+n²的最小值，即可求得x+y 的最小值．
（2）把两个曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，解方程组求得交点的直角坐标，再化为极坐标．

解答：解：（1）令

2x+1

=m≥0，

2y+3

=n≥0，则有 m+n=4，表示一条线段AB，
A（4，0）、B（0，4），且 x+y=

m2+n2

2

-2．
要使x+y，只要m²+n²最小． 而m²+n²表示原点与线段AB上的点之间距离的平方，
故m²+n²的最小值等于原点到线段AB的距离，等于 (

4×4

4 2

)2=8，故x+y 的最小值为

8

2

-2=2．
（2）曲线ρ（cosθ+sinθ）=2 即 x+y-2=0，与ρ（sinθ-cosθ）=2 即 y-x-2=0，即 x-y+2=0．
解方程组

x+y-2=0 x-y+2=0

可得

x=0 y=2

，故交点的坐标为（0，2），
故它的极坐标为 （2，

π

2

）．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，把参数方程化为直角坐标方程，求点的极坐标，属于基础题．