Question

已知圆心为C的圆经过点A（0，2）和B（-3，3），且圆心C在直线l：x+y+5=0上．
（1）求线段AB的垂直平分线方程；
（2）求圆C的标准方程．

Answer 1

分析：（1）要求线段的中垂线的方程，需要先写出两个端点的中点坐标，再根据垂直的两条直线斜率之积等于-1，求出斜率，利用点斜式求出结果．
（2）法一：根据圆心的特点，求两条直线的交点的坐标，得到要求的圆的圆心圆心，根据两点之间的距离再做出半径，写出圆的标准方程；
法二：设出圆的标准式方程，利用待定系数法来得到结果．

解答：解：（1）因为A（0，2），B（-3，3），
∴线段AB的中点坐标为(-

3

2

，

5

2

)，
直线AB的斜率kAB=

3-2

-3-0

=-

1

3

，
故线段AB的垂直平分线方程是y-

5

2

=3(x+

3

2

)，即3x-y+7=0．
（2）法一由

3x-y+7=0 x+y+5=0

，得

x=-3 y=-2

∴圆心C的坐标是（-3，-2）．
圆的半径长r=|AC|=

(0+3)2+(2+2)2

=5．
∴圆C的标准方程是（x+3）²+（y+2）²=25．
法二，设圆C的标准方程是（x-a）²+（y-b）²=r²．
依题意，得

(0-a)2+(2-b)2=r2 (-3-a)2+(3-b)2=r2 a+b+5=0

，
解得a=-3，b=-2，r²=25
∴圆C的标准方程是（x+3）²+（y+2）²=25

点评：本题考查直线的方程和圆的方程的求法，是一个基础题，解题时注意利用待定系数法求圆的方程时，注意应用方程思想，注意数字的运算．