Question

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2）其中a₃=95
（1）求a₁，a₂的值
（2）若存在一个实数λ使得{

an+λ

3n

}为等差数列求λ的值
（3）求数列{a_n}前n项的和S_n．

Answer 1

分析：（1）求a₁，a₂的值，由题设条件，{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2）其中a₃=95求解即可
（2）若存在一个实数λ使得{

an+λ

3n

}为等差数列求λ的值可根据等差数列的性质建立方程求参数；
（3）求数列{a_n}前n项的和S_n．可以由（2）求出数列{a_n}的通项，再根据其形式先分组，在各组中分别用错位相减法求和，公式求和的技巧求和．

解答：解：（1）由题设条件知a₂=3a₁+3¹-1，a₃=3a₂+3³-1=95，解得a₁=7，a₂=23
（2）若存在一个实数λ使得{

an+λ

3n

}为等差数列，则有

a1+λ

31

+

a3+λ

33

=2×

a2+λ

32

，将a₁=7，a₂=23，a₃=95代入解得λ=-5
（3）由（2）{

an-5

3n

}为等差数列其首项为

2

3

，公差为

4

3

的等差数列，故

an-5

3n

=

2

3

+

4

3

×(n-1)=

4

3

n-

2

3

，故a_n=4n×3^n-1-2×3^n-1+5
令A_n为数列{4n×3^n-1}的前n项和，则S_n=A_n-2×（3⁰+3¹+…+3^n-1）+5n=A_n+1-3ⁿ+5n
由于A_n=4×（1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1）
3A_n=4×（1×3¹+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）
故-2A_n=4×（3⁰+3¹+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ）=4×（

1

2

×(3n-1)-n×3ⁿ）
A_n=2×（3ⁿ-1）+4×（n×3ⁿ）
所以S_n=2×（3ⁿ-1）+4×（n×3ⁿ）+1-3ⁿ+5n

点评：本题考点是数列的求和，考查了公式法求和以及错位相减法求和等技巧，学习时要注意积累常见的求和技巧，总结其规律．