Question

17．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，
（1）求函数f（x）的解析式； 
（2）解不等式f（x）≤1．

Answer 1

分析 （1）先由图象可得A，然后利用图象求得函数的周期，由周期公式求得ω，最后根据点（$\frac{7π}{12}$，-$\sqrt{2}$）在函数图象上，且-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，求得φ，即可得解．
（2）由题意解$sin（2x+\frac{π}{3}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由正弦函数的图象和性质可得$-\frac{5π}{4}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$，进一步化简即可得解．

解答 解：（1）∵由图可知$A=\sqrt{2}$，$T=4（\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}）=π$，
∴$ω=\frac{2π}{π}=2$，
∴可得：$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+φ）$，
∵将点$（{\frac{7π}{12}，-\sqrt{2}}）$代入得，$f（\frac{7π}{12}）=\sqrt{2}sin（2×\frac{7π}{12}+φ）=-\sqrt{2}$，
∴$\frac{7π}{6}+φ=\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，
又$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{3}$．
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{3}）$…（6分）
（2）由f（x）≤1得$sin（2x+\frac{π}{3}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$-\frac{5π}{4}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$，
∴$-\frac{19π}{12}+2kπ≤2x≤-\frac{π}{12}+2kπ，k∈Z$，
可得：$-\frac{19π}{24}+kπ≤x≤-\frac{π}{24}+kπ，k∈Z$，
不等式f（x）≤1的解集为$\{x|-\frac{19π}{24}+kπ≤x≤-\frac{π}{24}+kπ，k∈Z\}$．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查．