Question

设x₁，x₂是函数的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）用a表示b²，并求出a的取值范围．
（2）证明：．
（3）若函数h（x）=f′（x）-2a（x-x₁），证明：当x₁＜x＜2且x₁＜0时，|h（x）|≤4a．

Answer 1

解：（1）∵f （x ）=x³+x²-a² x，
∴f′（x ）=a x²+bx-a² …（1分）
∵x₁，x₂是f （x ）的两个极值点，
∴x₁，x₂是方程a x²+bx-a²=0的两个实根（2分）
∵a＞0，∴x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=，
由条件|x₁|+|x₂|=2平方，可得x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=4，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=4，
∴，
∴b²=4a²-4a³ …（4分）
∵b²≥0，∴4a²-4a³≥0，
∴0＜a≤1…（5分）
（2）∵b²=4a²-4a³ （0＜a≤1），令g（a）=4a²-4a³，∴g'（a ）=8 a-12a²…（6分）
由g'（a）＞0，得0＜a＜，由g'（a）＜0，得＜a≤1．
∴g（a）在（0，）上递增，在（，1）上递减．…（8分）
∴g（a）在（0，1）上的最大值是g（）=．
∴g（a）≤．
∴b²≤．
∴|b|≤…（10分）
（3）∵x₁，x₂是方程a x²+bx-a²=0的两个实根，
∴f^′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
∴h（x）=a（x-x₁）（x-x₂）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂-2）…（11分）
∴|h（x）|=a|x-x₁||x-x₂-2|≤…（12分）
∵x＞x₁，∴x-x₁＞0．
又∵x₁＜0，∴x₁ x₂＜0，∴x₂＞0．∴x₂+2＞2．
又∵x＜2，∴x-x₂-2＜0 …（13分）
∴|h（x ）|≤=．
又∵|x₁|+|x₂|=2，且x₁＜0，x₂＞0，∴x₂-x₁=2．
将其代入上式得|h（x ）|≤4a．…（14分）
分析：（1）借助条件：“|x₁|+|x₂|=2”由此入手建立b²=4a²-4a³，再由x₁，x₂是f（x）=的两个极值点，知x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²的两个根，从而能够求出a的取值范围．
（2）由（1）知b²=（4-4a）a²，令g（a）=4a²-4a³，得到g′（x）=8 a-12a²利用导数研究其单调性和最大值，由此能够证明|b|≤．
（3）h（x）=f′（x）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂-2），由x-x₁＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，知x₂＞0，x＜2，x-x₂-2＜0，由此结合基本不等式能够证明|g（x）|≤4a．
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、导数在最大值、最小值中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．