Question

（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析
（Ⅱ）120°

本题主要考查直线与平面垂直的判断与性质定理、平面与平面垂直的性质，二面角的求解，以及考查逻辑思维能力、空间想象力与简单运算能力、同时考查转化与化归的思想.
解法一：

(Ⅰ)连接BD，取DC的中点G，连接BG，
由此知即为直角三角形，故.
又,
所以，.
作，，
故平面EDC，内的两条相交直线都垂直.


,
,
所以，.
(Ⅱ) 由知
.
故为等腰三角形.
取中点F，连接，则.
连接，则.
所以，是二面角的平面角.
连接AG，AG=，,
,
所以，二面角的大小为120°.
解法二：
以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，

设则,,.
(Ⅰ),
设平面的法向量为,
由,
故
令，
又设，则
,

设平面的法向量，
由,得
，
故   .
令，则.
由平面得.
故.
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知，取中点F，则,,
故,由此得.
又,故由此得,
向量与的夹角等于二面角的平面角.
于是         ,
所以，二面角的大小为120°.
点评：对立体几何的考查是一直解答题中比较常规、变化不大的题。但今年（Ⅰ）的问题的设置由证明空间位置关系变为证明西安段之间的相等关系，在力求创新考查，但实际还是考查空间直线、平面之间的位置的关系的证明及应用.