【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的离心率为,右准线方程为.
求椭圆C的标准方程;
已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A,B两点,且点A在第三象限内为椭圆C的上顶点,记直线MA,MB的斜率分别为,.
若直线l经过原点,且,求点A的坐标;
若直线l过点,试探究是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)①;②为定值1.
【解析】
(1)由已知列关于a,c的方程组,求解可得a,c的值,再由隐含条件求得b,则椭圆C的标准方程可求;
(2)①设A(x1,y1),M(0,1),由椭圆对称性可知B(﹣x1,﹣y1),由点A(x1,y1)在椭圆上,得到,求出k1k2,结合k1﹣k2,可得k1=1,则直线MA的方程可求,再与椭圆方程联立即可求得A的坐标;
②直线l过点(﹣2,﹣1),设其方程为y+1=k(x+2),与椭圆方程联立,利用根与系数的关系即可得到k1+k2是定值.
(1)因为椭圆的离心率为,右准线方程为,
所以,
解得.
又因为.
所以椭圆的标准方程为.
(2)设,,为椭圆的上顶点,则.
①因为直线经过原点,由椭圆对称性可知.
因为点在椭圆上,所以,即.
因为,.
所以.
所以,解得或.
因为点在第三象限内,所以,所以,则直线的方程为.
联结方程组,解得或,所以.
(解出,,也可根据,,求出点的坐标)
②直线过点,设其方程为.
联列方程组,消去可得(4k2+1)x2+8k(2k﹣1)x+16k(k﹣1)=0.
当时,由韦达定理可知,.
又因为
.
所以为定值1.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的定义域;
(2)若函数有且仅有一个零点,求实数m的取值范围;
(3)任取,若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知中心在原点的椭圆C的一个顶点为,焦点在x轴上,右焦点到直线的距离为.
求椭圆的标准方程;
若直线l:交椭圆C于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为点与点M不重合,且直线与x轴的交于点P,求的面积的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:.
若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等,且截距不为零,求切线l的方程;
已知点为直线上一点,由点P向圆C引一条切线,切点为M,若,求点P的坐标.
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【题目】已知f(x)=x2-a|x-1|-1,a∈R.
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)若f(x)≥0对x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范围;
(3)写出f(x)在[-2,2]上的最大值g(a).(不需要解答过程)
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【题目】已知二次函数,满足,.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围;
(3)若函数的两个零点分别在区间和内,求实数的取值范围.
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【题目】某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王都在早上7:30--7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,求小张比小王至少早5分钟到校的概率.
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