Question

12．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|，（{0＜x≤{e^2}}）\\{e^2}+2-x，（{x＞{e^2}}）\end{array}$，存在x₁＜x₂＜x₃，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则$\frac{{f（{x_3}）}}{{{x_1}{x_2}^2}}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{{2\sqrt{e}}}$
• B． $\frac{1}{{\sqrt{e}}}$
• C． $\frac{1}{e}$
• D． $\frac{1}{e^2}$

Answer 1

分析 先作出函数的图象，结合图象先判断x₁，x₂，x₃的取值范围和对应关系．然后去判断$\frac{{f（{x_3}）}}{{{x_1}{x_2}^2}}$的最大值即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
f（e²）=|lne²|=2，
当x＞e²，由f（x）=e²+2-x=0得x=e²+2，
若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
则0＜x₁＜1，1＜x₂＜e²，e²＜x₃＜2+e²，
由f（x₁）=f（x₂）得|lnx₁|=|lnx₂|，
即-lnx₁=lnx₂，则lnx₁+lnx₂=lnx₁x₂=0，即x₁x₂=1，
则$\frac{{f（{x_3}）}}{{{x_1}{x_2}^2}}$=$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{2}}=\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$，
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$，1＜x＜e²，
则g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得1-lnx＞0，得lnx＜1，即，1＜x＜e，
由g′（x）＜0得1-lnx＜0，得lnx＞1，即e＜x＜e²，
即当x=e时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，
即$\frac{{f（{x_3}）}}{{{x_1}{x_2}^2}}$=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$的最大值是$\frac{1}{e}$，
故选：C．

点评 本题考查函数对数函数的图象与性质，以及根据函数与方程的关系求参数的取值范围问题．利用数形结合思想是解决这类问题的关键．