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12.函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|,({0<x≤{e^2}})\\{e^2}+2-x,({x>{e^2}})\end{array}$,存在x1<x2<x3,f(x1)=f(x2)=f(x3),则$\frac{{f({x_3})}}{{{x_1}{x_2}^2}}$的最大值为(  )
A.$\frac{1}{{2\sqrt{e}}}$B.$\frac{1}{{\sqrt{e}}}$C.$\frac{1}{e}$D.$\frac{1}{e^2}$

分析 先作出函数的图象,结合图象先判断x1,x2,x3的取值范围和对应关系.然后去判断$\frac{{f({x_3})}}{{{x_1}{x_2}^2}}$的最大值即可.

解答 解:作出函数f(x)的图象如图:
f(e2)=|lne2|=2,
当x>e2,由f(x)=e2+2-x=0得x=e2+2,
若f(x1)=f(x2)=f(x3),
则0<x1<1,1<x2<e2,e2<x3<2+e2
由f(x1)=f(x2)得|lnx1|=|lnx2|,
即-lnx1=lnx2,则lnx1+lnx2=lnx1x2=0,即x1x2=1,
则$\frac{{f({x_3})}}{{{x_1}{x_2}^2}}$=$\frac{f({x}_{3})}{{x}_{2}}=\frac{f({x}_{2})}{{x}_{2}}$=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$,
设g(x)=$\frac{lnx}{x}$,1<x<e2
则g′(x)=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
由g′(x)>0得1-lnx>0,得lnx<1,即,1<x<e,
由g′(x)<0得1-lnx<0,得lnx>1,即e<x<e2
即当x=e时,g(x)取得极大值,同时也是最大值g(e)=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$,
即$\frac{{f({x_3})}}{{{x_1}{x_2}^2}}$=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$的最大值是$\frac{1}{e}$,
故选:C.

点评 本题考查函数对数函数的图象与性质,以及根据函数与方程的关系求参数的取值范围问题.利用数形结合思想是解决这类问题的关键.

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