【题目】在平面直角坐标系 xOy中,O为坐标原点,已知点,P是动点,且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过F作倾斜角为60°的直线L,交曲线C于A,B两点,求△AOB的面积;
(3)过点任作两条互相垂直的直线,分别交轨迹 C 于点A,B和M,N,设线段AB,MN的中点分别为E,F.,求证:直线EF恒过一定点.
【答案】(1);(2);(3)定点,理由见解析
【解析】
(1)设点P的坐标,用已知点和P点坐标表示出,和,再代入等式,整理即得点P的轨迹C方程;(2)设A,B点的坐标,根据点F,可得直线L的方程,将L的方程和P的轨迹方程联立,再由公式可得△AOB的面积;(3)设点A,B的坐标为,点E的坐标为,设直线的方程为,将直线与曲线方程联立,因为直线与曲线有两个交点,则可用斜率k表示出点E,直线垂直,可知直线的斜率为,且过点D,则同理可得用k表示的F点坐标,根据点斜式可求出直线EF的方程,再根据方程特点可证.
(1)设点P的坐标为,则,
由,得,整理得点P的轨迹的方程为:
(2)设,由得:
,
(3)证明:设点A,B的坐标为,则点E的坐标为.
由题意可设直线的方程为,
由,消去y得,
,∵直线与抛物线交于A,B两点,
,
∴点E的坐标为,由题知,直线的斜率为,同理可得F的坐标为.
当时,有.此时直线EF的斜率为:
∴直线EF的方程为,
整理得,恒过定点,当时,直线EF的方程为,也过点.
综上所述,直线EF恒过定点.
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【题目】下列命题中正确命题的个数是( )
①命题“函数的最小值不为”是假命题;
②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题,则, 均为假命题;
④若命题: , ,则: , ;
A. B. C. D.
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【题目】某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:
分类 | 积极参加 班级工作 | 不太主动参 加班级工作 | 总计 |
学习积极性高 | 18 | 7 | 25 |
学习积极性一般 | 6 | 19 | 25 |
总计 | 24 | 26 | 50 |
(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关,并说明理由.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点为F1,F2,离心率为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l过点M(0,﹣2)且与椭圆C相交于A,B两点,且△OAB(O为坐标原点)的面积为,求出直线l的方程.
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【题目】如图,在四边形ABED中,AB//DE,ABBE,点C在AB上,且ABCD,AC=BC=CD=2,现将△ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置,且PE.
(1)求证:平面PBC 平面DEBC;
(2)求三棱锥P-EBC的体积.
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【题目】以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为(,a为常数)),过点、倾斜角为的直线的参数方程满足,(为参数).
(1)求曲线C的普通方程和直线的参数方程;
(2)若直线与曲线C相交于A、B两点(点P在A、B之间),且,求和的值.
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【题目】我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB,对应的圆心角,该地区为打击洋垃圾走私,在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证如图:其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A,B分别建有监测站,A与B之间的直线距离为100海里.
求海域ABCD的面积;
现海上P点处有一艘不明船只,在A点测得其距A点40海里,在B点测得其距B点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD?请说明理由.
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【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若函数的导函数的图象与轴交于, 两点,其横坐标分别为, ,线段的中点的横坐标为,且, 恰为函数的零点,求证: .
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