Question

15．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+2co{s}^{2}\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式及两角和的正弦函数公式化简已知可得f（x）=$2sin（x+\frac{π}{6}）+1$，由周期公式即可得解．
（II）由$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递减区间．

解答 （本小题满分13分）
解：（I）由已知可得：$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx+1$=$2sin（x+\frac{π}{6}）+1$．
所以f（x）的最小正周期为2π．…（7分）
（II）由$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得$2kπ+\frac{π}{3}≤x≤2kπ+\frac{4π}{3}$，k∈Z．
因此函数f（x）的单调递减区间为$[2kπ+\frac{π}{3}，2kπ+\frac{4π}{3}]$，k∈Z．…（13分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．