Question

【题目】

已知等差数列的公差为，前项和为，且．

（1）求数列的通项公式与前项和；

（2）将数列的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前三项，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由利用等差数列性质得，，再根据等差数列广义通项公式得：，最后利用等差数列和项公式求前项和，（2）先根据题意确定数列的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列通项，然后利用错位相减法求数列的前项和为，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意，而的最值，需根据数列单调性确定.

试题解析：

解：（1）为等差数列，且，，即，

又公差，，．

，．

（2）由（1）知数列的前项为，，，，

等比数列的前项为，，，

，，

，①

，②

①②得

．

，．

，

，且，

时，．

又，

时，，

存在，使得对任意，总有成立．

，，

实数的取值范围为．