Question

18．设f（x）=e^x（lnx-a）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（1）若y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，求a、b的值；
（2）若[$\frac{1}{e}$，e]是y=f（x）的一个单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到f′（1），结合y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b列式求得a，b的值；
（2）由[$\frac{1}{e}$，e]是y=f（x）的一个单调递减区间，可知f′（x）=${e}^{x}（lnx+\frac{1}{x}-a）$≤0在[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，即$lnx+\frac{1}{x}-a$≤0在[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，构造函数$g（x）=lnx+\frac{1}{x}，x∈$[$\frac{1}{e}$，e]，利用导数求得函数g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x（lnx-a），
∴f′（x）=${e}^{x}（lnx-a）+{e}^{x}•\frac{1}{x}={e}^{x}（lnx+\frac{1}{x}-a）$，
∵y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，
∴k=f′（1）=e（ln1+$\frac{1}{1}-a$）=2e，
∴a=-1，
∴f（x）=e^x（lnx+1），
∴f（1）=e，
又∵（1，e）也在y=2ex+b上，
∴e=2e+b，则b=-e；
（2）∵y=f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上单调递减，
∴f′（x）=${e}^{x}（lnx+\frac{1}{x}-a）$≤0在[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
即$lnx+\frac{1}{x}-a$≤0在[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
令$g（x）=lnx+\frac{1}{x}，x∈$[$\frac{1}{e}$，e]，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
当x∈[$\frac{1}{e}$，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，e]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
又∵g（e）=1+$\frac{1}{e}$，g（$\frac{1}{e}$）=-1+e，
∴g（$\frac{1}{e}$）＞g（e），
∴$g（x）_{max}=g（\frac{1}{e}）=e-1$．
∴要使$lnx+\frac{1}{x}-a$≤0在[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
只需a≥e-1，
即a的取值范围是[e-1，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用分离参数证明恒成立问题，是中档题．