Question

已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）=af（x），
（Ⅰ）证明f（0）=0；
（Ⅱ）证明，其中k和h均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的k＞0时，设g（x）=+f（x）（x＞0），讨论g（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值。

Answer 1

 解：（Ⅰ）令x=0，则，
∵a＞0，
∴。
（Ⅱ）①令x=a，∵a＞0，
∴x＞0，则。
假设x≥0时，f（x）=kx（x∈R），则，而，
∴，即f（x）=kx成立；
②令x=-a，∵a＞0，∴x＜0，，
假设x＜0时，，
则，
而，
∴，即f（x）=hx成立；
∴成立。
（Ⅲ）当x＞0时，，，
令，得x=1或x=-1；
当时，，∴g（x）是单调递减函数；
当时，，∴g（x）是单调递增函数；
所以当x=1时，函数g（x）在（0，+∞）内取得极小值，极小值为。