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13.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,它的准线方程为y=$\frac{1}{4}$,抛物线上的点A的横坐标为1,B、C是抛物线上异于点A的两点.
(1)若直线AB与直线AC的斜率互为相反数,求直线BC的斜率;
(2)在(1)的条件下,求线段BC的中点P的轨迹方程.

分析 (1)先求出抛物线的方程,再利用AB,AC斜率相加为0,即可求直线BC的斜率;
(2)在(1)的条件下,求出线段BC的中点P的坐标,即可求线段BC的中点P的轨迹方程.

解答 解:(1)∵抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,它的准线方程为y=$\frac{1}{4}$,
∴抛物线解析式为y=-x2,点A(1,-1)
设B(x1,-x12),C(x2,-x22),
∵AB,AC斜率相加为0,kAB=$\frac{-{{x}_{1}}^{2}+1}{{x}_{1}-1}$=-x1-1,kAC=-x2-1,
∴-x1-1-x2-1=0,
∴x1+x2=-2,
∴kBC=-(x1+x2)=2;
∵AB,AC斜率相加为0;
(2)设BC方程为y=2x+b,
联立抛物线与直线方程得x2+2x+b=0,
∴x1+x2=-2,x1x2=b,
∴y1+y2=-4+2b,
∴线段BC的中点P(-1,-2+b),
∴P的轨迹方程式为x+1=0.

点评 本题考查抛物线、直线的方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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