Question

图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是

1

4

．
（1）从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的

2

倍的概率；
（2）求此长方体的体积．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离,概率与统计

分析：（1）利用列举法，确定基本事件的个数，再用古典概型的概率公式进行求解；
（2）以面积为测度，结合几何概型的概率公式，即可求此长方体的体积．

解答： 解：（1）记事件M：从6条线段中任取2条线段，其中一条线段长度是另一条线段长度的

2

倍．从6条线段中任取2条线段，有15种等可能的取法：AB和BC，AB和AC，AB和CD，AB和AD，AB和BD，BC和CD，BC和BD，BC和AC，BC和AD，CD和AC，CD和AD，CD和BD，AD和AC，AD和BD，AC和BD…（3分）
其中事件M包含8种结果：AB和AC，AB和BD，BC和AC，BC和BD，CD和AC，CD和BD，AD和AC，AD和BD…（4分）P(M)=

8

15

，因此，所求事件的概率为

8

15

…（6分）
（2）记事件N：向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内．
设长方体的高为h，则图2中虚线围成的矩形长为2+2h，宽为1+2h，面积为（2+2h）（1+2h）…（9分）
长方体的平面展开图的面积为2+4h；…（10分）
由几何概型的概率公式知P(N)=

2+4h

(2+2h)(1+2h)

=

1

4

，得h=3，…（12分）
所以长方体的体积是V=1×1×3=3．…（13分）

点评：本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查几何概型，是中档题．