Question

7．已知a，b，c是正实数，则下列说法正确的个数是（　　）
①a⁵+b⁵≥a³b²+a²b³
②若a＞b，则$\frac{a+c}{b+c}$＞$\frac{a}{b}$
③若a+b+c=1，则a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$
④若0＜a，b，c＜1，则（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a可都大于$\frac{1}{4}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对于①②利用作差比较法即可判断，
对于③利用条件，两边平方，利用基本不等式，即可判断，
对于④常用反证法，即先假设三者都大于$\frac{1}{4}$成立，相乘后得到的结论与另一个结论矛盾，得出结论，故可判断．

解答 对于①∵a⁵+b⁵-（a³b²+a²b³）=（a²-b²）（a³-b³）=（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²）≥0，∴a⁵+b⁵≥a³b²+a²b³，故①正确；
对于②$\frac{a+c}{b+c}$-$\frac{a}{b}$=$\frac{ab+bc-ab-ac}{b（b+c）}$=$\frac{c（b-a）}{b（b+c）}$，∵a，b，c是正实数，a＞b，∴$\frac{c（b-a）}{b（b+c）}$＜0，∴$\frac{a+c}{b+c}$＜$\frac{a}{b}$，故②不正确；
对于③：∵a+b+c=1，∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≤3（a²+b²+c²），∴a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$，故③正确，
对于④假设成立，即（1-a）b＞$\frac{1}{4}$，（1-b）c＞$\frac{1}{4}$，（1-c）a＞$\frac{1}{4}$，
则三式相乘：（1-a）b•（1-b）c•（1-c）a＞$\frac{1}{64}$，（*）
又∵0＜a，b，c＜1∴0＜（1-a）a≤（$\frac{1-a+a}{2}$）²=$\frac{1}{4}$
理：（1-b）b≤$\frac{1}{4}$，（1-c）c≤$\frac{1}{4}$．
以上三式相乘：（1-a）a•（1-b）b•（1-c）c≤$\frac{1}{64}$与（*）矛盾．
∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同时大于$\frac{1}{4}$，故④不正确．
故选：B．

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法、综合法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题