Question

设函数.
（1）求函数的单调区间
（2）若函数有两个零点、，且，求证：.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析.

试题分析：（1）先求出函数的定义域与导数，并对导数进行因式分解，然后对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，从而确定函数相应的单调区间；（2）先利用函数有两个零点、将利用和进行表示，于此同时，利用分析法将所要证明的问题进行转化，转化为，并结合前面的结果，令，构造新函数利用导数来进行证明.
试题解析：（1），定义域为，
，由于，，
①当时，对任意，，则函数的单调递增区间为；
②当时，令，解得，
当时，，当时，，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）因为、是函数的两个零点，有，
则，，
两式相减得，
即
所以                         
又因为，当时，；当时，
故只要证即可，即证明，
即证明，
即证明，
设.令，
则，因为，所以，当且仅当时，
所以在是增函数；又因为，所以当时，总成立.
所以原题得证.