Question

如图，等腰梯形ABCD中，线段Ab的中点O是抛物线的顶点，DA、AB、BC分别与抛物线切于点M、O、N．等腰梯形的高是3，直线CD与抛物线相交于E、F两点，线段EF的长是4．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求抛物线的方程；
（Ⅱ）求等腰梯形ABCD的面积的最小值，并确定此时M、N的位置．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，以O为圆点，建立直角坐标系，则F（2，3），设抛物线方程为y=ax²，a＞0，将F（2，3）代入，能够求出抛物线方程．
（Ⅱ）由y=

3

4

x2，x∈R，y′=

3

2

x，设N（x₀，y₀），过点N的切线方程为y-y0=

3

2

x0(x-x0)，令y=0，又y0=

3

4

x02，x=

1

2

x0，由此能求出等腰梯形ABCD的面积的最小值，并确定此时M、N的位置．

解答：解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，以O为圆点，建立直角坐标系，则F（2，3），
设抛物线方程为y=ax²，a＞0，
将F（2，3）代入，得a=

3

4

，
所以，抛物线方程为x2=

4

3

y，x∈R，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：y=

3

4

x2，x∈R，y′=

3

2

x，
设N（x₀，y₀），过点N的切线方程为y-y0=

3

2

x0(x-x0)，
令y=0，又y0=

3

4

x02，∴x=

1

2

x0，
∴B(

1

2

x0，0)．
令y=3，又y0=

3

4

x02，∴x=

x02+4

2x0

，
∴C(

x02+4

2x0

，3)，
∴S四边形=(

x0

2

+

x02+4

2x0

)•3=3(

2

x0

+x0)≥6

2

，
当且仅当

2

x0

=x0，即x0=

2

时，取“=”号，此时N（

2

，

3

2

），M（-

2

，

3

2

）．

点评：本题考查抛物线的性质和应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值不等式的合理运用．