Question

8．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）的e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，焦距为2$\sqrt{3}$．
（1）求E的方程；
（2）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆中，e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，焦距为2$\sqrt{3}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（2）当AB为长轴（或短轴）时，依题意C是椭圆的上下顶点（或左右顶点）时，S_△ABC=2．当直线AB的斜率不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得|OA|²=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，直线直线OC的方程为y=-$\frac{1}{k}x$，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，得|OC|²=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+4}$．从而求出${S}_{△ABC}≥\frac{8}{5}$，由此能求出△ABC面积的最小值为$\frac{8}{5}$，此时直线直线AB的方程为y=x或y=-x．

解答 解：（1）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）的e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，焦距为2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2c=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）当AB为长轴（或短轴）时，依题意C是椭圆的上下顶点（或左右顶点），
此时S_△ABC=$\frac{1}{2}×$|OC|×|AB|=2．
当直线AB的斜率不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得${{x}_{A}}^{2}$=$\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，${{y}_{A}}^{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴|OA|²=${{x}_{A}}^{2}+{{y}_{A}}^{2}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，
由|AC|=|CB|知，△ABC为等股三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，
∴直线直线OC的方程为y=-$\frac{1}{k}x$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，解得${{x}_{{\;}_{C}}}^{2}$=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$，${{y}_{C}}^{2}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+4}$，|OC|²=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+4}$．
S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=$\sqrt{\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}}×\sqrt{\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+4}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$．
∵$\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}$≤$\frac{（1+4{k}^{2}）+（{k}^{2}+4）}{2}$=$\frac{5（{k}^{2}+1）}{2}$，
∴${S}_{△ABC}≥\frac{8}{5}$，
当且仅当1+4k²=k²+4，即k=±1时，等号成立，
此时△ABC面积的最小值是$\frac{8}{5}$，
∵2＞$\frac{8}{5}$，∴△ABC面积的最小值为$\frac{8}{5}$，
此时直线直线AB的方程为y=x或y=-x．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、三角形面积等知识点的合理运用．