Question

某校高一年级数学兴趣小组的同学经过研究，证明了以下两个结论是完全正确的：①若函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形，则函数y=f（x+a）-b是奇函数；②若函数y=f（x+a）-b是奇函数，则函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形．请你利用他们的研究成果完成下列问题：
（1）将函数g（x）=x³+6x²的图象向右平移2个单位，再向下平移16个单位，求此时图象对应的函数解释式，并利用已知条件中的结论求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h(x)=log2

1-x

4x

图象对称中心的坐标，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据图象变换法则，即可得到函数平移以后的解析式，化简可知函数为奇函数，根据已知的结论②，即可得到函数g（x）图象的对称中心；
（2）根据题中的结论，要求函数h（x）的对称中心，设y=h（x+a）-b为奇函数，根据奇函数的定义，即可求得a和b的值，从而得到h（x）图形的对称中心．

解答：解：（1）∵函数g（x）=x³+6x²的图象向右平移2个单位，再向下平移16个单位，
∴平移后的函数为y=（x-2）³+6（x-2）-16，即y=x³，
∵y=x³为奇函数，
∴y=g（x-2）-16为奇函数，
根据若函数y=f（x+a）-b是奇函数，则函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形，
故函数g（x）图象对称中心的坐标为（-2，16）；
（2）设y=h(x+a)-b=log2

1-(x+a)

4(x+a)

-b=log2

1-a-x

4x+4a

-b是奇函数，
则log2

1-a-x

4x+4a

-b+(log2

1-a+x

-4x+4a

-b)=0，
即log2(

1-a-x

4x+4a

•

1-a+x

-4x+4a

)-2b=0，即log2

(1-a)2-x2

16a2-16x2

-2b=0，
∴

(1-a)2-x2

16a2-16x2

=22b，
化简可得（1-a）²-x²=2^2b（16a²-16x²），
即（16•2^2b-1）x²+（1-a）²-2^2b•16a²=0，
由x的任意性，可得16•2^2b-1=0，且（1-a）²-2^2b•16a²=0，
解得b=-2，a=

1

2

，
根据题意可知，函数h（x）图象对称中心的坐标为(

1

2

，-2)．

点评：本题考查了函数的性质，主要是属于新定义的问题，根据题中所给出的信息，分析并运用进行求解，解题的关键是审清题意，弄清题中所给的条件．属于中档题．