Question

如图，直三棱柱的一个底面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径．
（1）求证：平面ACD⊥平面ADE；
（2）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=

3

2

，求几何体EDABC的体积V．

Answer 1

分析：（1）由已知中直三棱柱的一个底面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，我们易得到DC⊥BC．BC⊥AC．由线面垂直的判定定理，可得到BC⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面ACD⊥平面ADE．
（2）由图可知，几何体EDABC即为四棱锥A-DCBE．AC即为棱锥的高，分别求出棱锥的高及底面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：（1）证明：由直棱柱性质知：DC⊥平面ABC，
又BC?平面ABC，∴DC⊥BC．（2分）
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC．
又DC∩AC=C，∴BC⊥平面ACD．（4分）
又DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，（6分）
又∵DE?平面ADE，
∴平面ACD⊥平面ADE，（8分）
（2）由图可知，几何体EDABC即为四棱锥A-DCBE．
由（1）可得AC⊥DC，又AC⊥BC，DC∩BC=C，∴AC⊥面CBED，（10分）
∵AB=2，BC=1，tan∠EAB=

EB

AB

=

3

2

，∴AC=

AB2-BC2

=

3

，BE=

3

，
又矩形CBDE的面积S=BC×BE=

3

，（12分）
∴V四棱锥A-DCBE=

1

3

•S•AC=

1

3

•

3

•

3

=1
因此，几何体EDABC的体积为1．（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定及棱锥的体积公式，熟练掌握空间几何体的几何特征，根据已知判断出证明及解答需要的线面关系是解答本题的关键．