Question

【题目】三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．
（1）求内角B的余弦值；
（2）若b= ，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，

∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．

∴a=2c，或C=90°（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）．

由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，∴b= c，

∴cosB= = =

（2）解：∵b= ，cosB= ，∴ac=b2=3，sinB= ，

∴△ABC的面积S= acsinB=

【解析】（1） 三角形ABC中，由条件化简可得C=90°，故有a=2c．再由b2=ac利用正弦定理可得，sin2B=sinAsinC，化简求得cosB的值．（2）根据b= ，求得ac=b2的值，求得sinB= 的值，再根据△ABC的面积S= acsinB，计算求得结果．
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正确解答此题．