Question

【题目】如图，椭圆C1： 和圆C2：x2+y2=b2 ， 已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M．
（I）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）求△EPM面积最大时直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由圆C2的面积为π，得：b=1，
圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得a=3b=3，
所以椭圆方程为： +y2=1；
（Ⅱ）由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，
不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx﹣1，
由 ，得： 或 ，
所以P（ ， ），同理得M（ ， ），
kPM= ，
由 ，得A（ ， ），所以：kAB= ，
所以 ，
设 ，则 ，
当且仅当 时取等号，所以k﹣ =± ，
则直线AB：y= x= （k﹣ ）x，
所以所求直线l方程为：
【解析】（Ⅰ）由圆的面积公式可得b=1，再由三等分可得a=3b=3，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx﹣1，
代入椭圆方程求得P，M的坐标，再由直线和圆方程联立，求得A的坐标，直线AB的斜率，求得△EPM的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值，进而得到所求直线的斜率，可得直线方程．