Question

若函数f（x）=（x+1）（x²+ax+b），（a，b∈R）的图象关于点（2，0）对称，且对任意实数x≥m时，f（x）≥0恒成立，则实数m的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：取f（x）图象上的两点（0，b），（-1，0），易求两对称点，代入解析式可得方程组，解出a，b可得函数解析式，利用导数可判断函数的单调性，再由函数零点可知f（x）的符号变化情况，进而可得m范围．

解答： 解：取f（x）图象上的两点（0，b），（-1，0），
其关于（2，0）的对称的分别为（4，-b），（5，0），
则

5(16+4a+b)=-b 6(25+5a+b)=0

，解得

a=-7 b=10

，
∴f（x）=（x+1）（x²-7x+10），
f′（x）=x²-7x+10+（x+1）（2x-7）=3[x-（2+

3

）][x-（2-

3

）]，
则x＜2-

3

或x＞2+

3

时，f′（x）＞0，当2-

3

＜x＜2+

3

时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，2-

3

]，[2+

3

，+∞）上递增；在（2-

3

，2+

3

）上递减．
又f（x）=（x+1）（x-2）（x-5），
∴f（5）=0，即x≥5时，f（x）≥0，
∵对任意实数x≥m时，f（x）≥0恒成立，
∴m≥5，
∴实数m的最小值为5，
故答案为：5．

点评：该题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，考查学生综合运用知识解决问题的能力．