Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为2，底面边长为1，点M是BC的中点．
（1）在直线CC₁上求一点N，使MN⊥AB₁；
（2）求cos＜

BA1

，

CB1

＞

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出N（0，1，

1

8

）．
（2）求出

BA1

=（-

3

2

，-

1

2

，2），

CB1

=（

3

2

，-

1

2

，2），利用向量法能求出cos＜

BA1

，

CB1

＞．

解答： 解：（1）以A为原点，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
M（

3

4

，

3

4

，0），A（0，0，0），
B₁（

3

2

，

1

2

，2），设N（0，1，t），0≤t≤2，

MN

=（-

3

4

，

1

4

，t），

AB1

=（

3

2

，

1

2

，2），
∵MN⊥AB₁，∴

MN

•

AB1

=-

3

4

×

3

2

+

1

4

×

1

2

+2t=0，
解得t=

1

8

，∴N（0，1，

1

8

）．
（2）B（

3

2

，

1

2

，0），A₁（0，0，2），
C（0，1，0），B₁（

3

2

，

1

2

，2），

BA1

=（-

3

2

，-

1

2

，2），

CB1

=（

3

2

，-

1

2

，2），
∴cos＜

BA1

，

CB1

＞=

- 3 4 + 1 4 +4

5 • 5

=

7

10

．

点评：本题考查满足异面直线垂直的点的位置的确定，考查两个向量的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．