Question

7．在△ABC中，已知sinA-cosA=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，AC=2，AB=4，求角A的度数和△ABC的面积．

Answer 1

分析 由两角差的正弦公式化简$sinA-cosA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的度数；利用两角和的正弦公式求出sianA，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：由题意得，$sinA-cosA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\sqrt{2}sin（A-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$sin（A-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$A-\frac{π}{4}=\frac{π}{6}$，则A=$\frac{5π}{12}$，
∴sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{π}{4}+\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∵AC=2，AB=4，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}•AC•ABsinA$=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
综上，角A的度数是$\frac{5π}{12}$；△ABC的面积是$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．

点评 本题考查两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，注意内角的范围，考查化简、变形能力．