Question

设函数f（x）及其导函数f'（x）都是定义在R上的函数，则“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”是“?x∈R，|f'（x）|＜1”的（　　）

A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

Answer 1

由于f′（x）=

lim

△x→0

△y

△x

=

lim

(x2-  x 1)→0

f(x2)-f(x 1)

x2-x 1

，故|f′（x）|=

lim

(x2-  x 1)→0

|f(x2)-f(x 1)|

| x2-x 1|

．
由“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”，利用函数的导数的定义，可推出|f′（x）|＜1，
故成分性成立．
再由“?x∈R，|f′（x）|＜1”，可得“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”成立，
故必要性成立．
综上可得，“?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|”是“?x∈R，|f′（x）|＜1”的充要条件，
故选C．